广义积分判敛实验室

课6先不急着求值，先把积分对象改写成极限。这里先盯住“上限越来越大”时，部分积分值到底是在逼近一个有限数，还是一直涨下去。

先写极限看部分积分值有限值=收敛

实验一右端无穷

选择一个对象，再拖动上限 $b$，观察 $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$ 的部分积分值如何变化。

对象

上限 $b$

当前部分积分-

理论结论-

原因-

观察口令

如果 $b$ 越来越大时，部分积分值稳定逼近某个有限数，这个广义积分就收敛。

如果部分积分值没有稳定下来，而是越来越大、越来越小，或者不断振荡，那就发散。

错误动作：把 $\infty$ 当普通上限直接代进原函数，不先写成极限对象。

瑕点分段实验

当被积函数在端点或区间内部无界时，核心动作不是硬算，而是先用 $\varepsilon$ 逼近，再决定是否拆成两段。

端点瑕点内部奇点先拆段

实验二瑕点逼近

对象

逼近量 $\varepsilon$

0.1250

当前部分值-

是否要分段-

结论-

教师提醒

端点无界：用单侧极限逼近端点，例如 $\int_0^1$ 就写成 $\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1$。

内部奇点：不能跨过去直接算，必须拆成左段 + 右段。只要其中一段发散，整体就发散。

错误动作：把瑕点当普通端点直接代入，或者把内部奇点跨过去当成连续函数处理。

快速判别

最后再看“题目前两步”：先说问题点类型，再说是否需要分段。只要入口判断错了，后面大概率全错。

先判类型再谈方法错因前置

情形 1：$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^4}\,\mathrm dx$

先回答：这是哪一类问题？

正确口令：先写成 $\lim_{b\to+\infty}\int_1^b$，再判断部分积分值是否趋于有限值。

情形 2：$\int_0^2\frac{1}{(x-1)^2}\,\mathrm dx$

先回答：要不要分段？

正确口令：内部奇点不能跨越，先拆成 $\int_0^1+\int_1^2$ 两段广义积分。

情形 3：$\int_0^1\frac{1}{x}\,\mathrm dx$

先回答：收敛时才求值，还是可以直接给值？

正确口令：先写成 $\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1$。极限发散时，就不能再把它当成有数值的积分。